In un articolo precedente abbiamo parlato dei rapporti tra fisica e matematica. C’è un altro filone della matematica che non ha molte relazioni con le scienze esatte: quello della Logica Matematica, che ha contribuito a creare complessi sistemi logico-matematici, spesso complicati e cavillosi, e in genere privi di agganci con la realtà. Infatti, tra la fine dell’800 e l’inizio del ‘900 si sono sviluppati una serie di tentativi di costruire dei sistemi logico-matematici coerenti e completi, in cui tutto l’edificio matematico fosse dipendente solo da delle assunzioni logiche iniziali, ed assolutamente indipendente dall’esperienza. Così sono nate l’algebra logica dell’inglese Boole, la Teoria degli Insiemi dei tedeschi Dedekind e Gottlob Frege, e la teoria degli insiemi infiniti ideato da un altro tedesco: Cantor. Non tutti erano d’accordo su questi sviluppi. Il matematico tedesco Kronecker riteneva Cantor un ciarlatano. Poincaré affermava in modo perentorio: “le generazioni future considereranno la teoria degli insiemi come una malattia da cui siamo guariti” ed ironizzava sulla logica pura, ed in particolare sulla logica matematica. “Non è vero che la logica è sterile” - affermava maliziosamente – “serve a creare contraddizioni!”. Da parte sua il grande Gauss – considerato il massimo matematico del secolo XIX – si era sempre opposto all’introduzione disinvolta degli infiniti in matematica, seguendo in questo le orme di Aristotele che affermava che potevamo avere cognizione solo di un infinito “in potenza”, non di un infinito “in atto” che sfugge alla nostra logica. E una volta tanto bisogna apprezzare la sottigliezza del grande filosofo, che abbiamo tante volte criticato.

In effetti questi sistemi basati sulla logica pura si dimostrarono fragili. Cantor, a chi gli faceva notare una contraddizione contenuta nel suo concetto di insieme infinito massimo che contiene tutti gli altri insiemi infiniti, dovette cavarsela dicendo che l’insieme massimo era di origine divina, per cui nulla di esso si poteva dire (che per un matematico è una spiegazione un po’ scarsa!). Russell fece notare a Frege nel 1903 una evidente contraddizione nel suo sistema riguardante gli insiemi che contengono sè stessi e riassumibile nella spiritosa allegoria del barbiere che non sbarba sè stesso: “nel paese dove nessuno si sbarba da solo, ma si fa sbarbare dal barbiere, chi sbarberà il barbiere?”. Il povero Frege fu così colpito ed umiliato che smise di lavorare. Ma anche il sistema creato dallo stesso Russell e dal collega Withehead - illustrato nell’opera molto nota scritta tra 1910 e 1913: “Principia Mathematica”- si dimostrò contraddittorio. Anche l’intelligente matematico italiano Peano si era cimentato nella costruzione di un sistema più semplice e quindi meno contraddittorio.

Il maggiore sforzo per la costruzione di un sistema logico coerente, cioè privo di contraddizioni, ed in cui ogni affermazione avrebbe dovuto essere dimostrata con un algoritmo computabile con una macchina calcolatrice, fu fatto dal famoso matematico tedesco Hilbert; ma anche questo sforzo si dimostrò sterile, quando il giovane e sconosciuto logico ceco Gödel all’inizio degli anni ’30 dello scorso secolo elaborò i suoi due famosi Teoremi dell’Incompletezza, con cui dimostrava che il sistema di Hilbert non poteva essere né completo (sarebbe rimasto sempre qualcosa di indimostrabile), né coerente (potevano esservi sempre contraddizioni).

È stato più volte detto che la matematica è come un edificio in continua costruzione e ristrutturazione. Non è un edifico perfetto. Alcune parti diventano obsolete. Altre vanno costruite ex-novo. Altre vanno cambiate. Non è e non può essere un edificio perfetto. I grandi sistemi logici e le teorie degli insiemi sono oggi alquanto passati di moda.

Hilbert all’inizio del ‘900, e poi successivamente anche il suo allievo Von Neumann, avevano tentato anche di assiomatizzare la fisica, cioè trasformarla in una serie di assiomi (affermazioni convenzionali non dimostrate), da cui dedurre altre leggi con ragionamenti puramente deduttivi. Anche Hamilton nell’800 aveva assiomatizzato l’ottica. Einstein era molto scettico verso questi tentativi che non si sono dimostrati molto produttivi. Einstein usava la matematica in modo oculato per esprimere alcuni concetti fisici, non per descrivere un sistema fisico completo e perfetto. Affermava che un concetto matematico oggettivo – come, ad esempio, l’invarianza in geometria - non corrispondeva necessariamente ad un concetto fisico, marcando la differenza tra Fisica e Matematica.

Completamente diverso (in senso del tutto positivo) è il caso di matematici logici che si sono posti il compito di applicare la logica matematica ad un’impresa concreta reale. Ne sono due luminosi esempi Turing e Von Neumann, quando si posero il problema di creare la struttura logica di macchine capaci di calcolare (computer) e di macchine dotate di Intelligenza Artificiale. La “Macchina (teorica) di Turing” ideata nel 1936 e l’architettura del computer ideata da Von Neumann alcuni anni dopo sono state la base dei moderni computer poi perfezionati e miniaturizzati con la scoperta dei semiconduttori e dei transistors. Lo stesso si può dire sui primi studi logici per impostare i problemi dell’Intelligenza Artificiale.