Il pensiero matematico e scientifico del ‘700, stimolato dal diffondersi dell’illuminismo, ebbe uno dei suoi centri più fecondi in Svizzera, ed in particolare nell’ università di Basilea, già nota per aver ospitato due secoli prima il grande riformatore Erasmo da Rotterdam. Per oltre due secoli, a partire dalla seconda metà del ‘600, l’università fu dominata da una serie di matematici e fisici, in gran parte membri di una stessa famiglia: i Bernoulli.

I primi due notevoli rappresentanti di questa famiglia furono i fratelli Jacques (1654-1705) e Jean (1667-1748). Entrambi si ispirarono al pensiero matematico di Leibnitz e svilupparono e diffusero l’analisi matematica infinitesimale. Il più importante rappresentante della famiglia fu il secondogenito di Jean, Daniel Bernouilli (1700-1782), emigrato poi a S.Pietroburgo alla corte dello zar autocrate e progressista, Pietro il Grande, che aveva fondato un’accademia delle scienze nell’allora capitale della Russia, nel tentativo di modernizzare e fornire di una scienza moderna il suo paese ancora arretrato.

Oltre a sviluppare la matematica nei settori dell’analisi infinitesimale, del calcolo delle probabilità e dell’algebra (come faranno anche i suoi nipoti e discendenti), Daniel ci ha lasciato in eredità il trattato “Hydrodinamica”, in cui ha gettato le fondamenta dell’idraulica moderna. Tutti gli studenti di ingegneria e fisica conoscono l’equazione fondamentale dell’idraulica sviluppata dallo scienziato svizzero, secondo cui, in un condotto privo di attrito e di dispersioni energetiche dovute a particolari moti irregolari, in ogni punto del fluido resta costante la somma di tre termini che rappresentano in realtà in modo semplificato ed elegante tre tipi di energia: l’energia “potenziale” dovuta all’altezza su un livello di riferimento (ad es. quello del mare), l’energia “cinetica” dovuta alla velocità (e proporzionale al quadrato della velocità), e l’energia dovuta alla pressione. L’equazione non è altro che un caso particolare del principio di conservazione dell’energia, che sarà messo a punto nella sua generalità da Joule ed altri valenti scienziati solo a metà dell’800.

Allievo geniale di Jean Bernouilli a Basilea fu Leonard Euler (italianizzato in “Eulero”: 1707-1783) che fin da giovanissimo mostrò la sua propensione alla matematica, fino a diventare uno dei maggiori matematici di ogni epoca. Trasferitosi anch’egli a S.Pietroburgo così come Daniel Bernouilli ed un altro famoso matematico tedesco, Christian Goldbach (1690-1764), dopo 10 anni passò a Berlino alla corte di un altro celebre monarca illuminato, Federico II, salvo poi tornare a S.Pietroburgo dove, coperto di fama e di onori, benchè divenuto cieco, continuò a produrre idee matematiche e scientifiche fino alla morte.

Nel campo della matematica Eulero si distinse nello studio delle serie numeriche infinite e della loro convergenza o divergenza (ovvero se la somma dei loro infiniti termini fosse un numero finito o infinito). In quest’ambito risolse il cosiddetto “problema di Basilea” determinando che la somma della serie 1 + 1/4+ 1/9 + 1/16 ….. era “pi greco” al quadrato diviso 6, risultato che stupì il mondo scientifico. Si interessò anche ai limiti cui tendevano le espressioni numeriche comportanti infiniti termini ed elaborò nuove funzioni e costanti numeriche caratteristiche, come la cosiddetta funzione “gamma” , la funzione “z” e la costante “gamma” (detta anche costante con Eulero-Mascheroni in quanto elaborata anche dal matematico italiano di quel nome). Elaborò una formula che metteva in relazione le note funzioni trigonometriche di “seno” e “coseno” con i numeri complessi, ovvero quei numeri costituiti da una parte “reale” ed una “immaginaria” perché contenente un fattore

Ad esempio la funzione “gamma” si usa nel calcolo combinatorio, nelle distribuzioni di probabilità usate anche in fisica, nelle integrazioni esponenziali usate nella fisica atomica, in astrofisica, nella dinamica dei fluidi. La funzione “z” è in relazione ai numeri primi ed è stata poi estesa da Riemann ai numeri complessi dando luogo alla celebre “congettura di Riemann” ancora irrisolta. La costante “gamma” è stata usata in elettodinamica quantistica dal fisico statunitense premio Nobel Feynman nella seconda metà del ‘900. Oltre alla notazione “i” , oggi vengono usate normalmente anche altre notazioni rese famose da Eulero (anche se non tutte inventate da lui), come la costante “e”, base dei logaritmi naturali e anche limite di notevoli funzioni, la celebre costante irrazionale trascendente “pi greco”, la notazione y = f(x) per indicare le funzioni matematiche, ecc.

Nel campo della teoria dei numeri, Eulero dimostrò la fallacia della congettura, sostenuta da Goldbach, secondo cui i cosiddetti numeri di Fermat - ricavabili da una formula del matematico francese - fossero tutti primi. Elaborò una formula più semplice ed elegante dell’altra congettura, ancora oggi nota come congettura di Goldbach, tuttora indimostrata, secondo cui ogni numero pari superiore a 2 può essere espresso come somma di 2 numeri primi.

In collaborazione con l’inglese MacLaurin, Eulero elaborò anche un’utilissima formula che trasforma integrali di funzioni (facenti parte della matematica infinitesimale) in somme di quantità discrete (ovvero finite). Nel campo della matematica infinitesimale, il grande matematico svizzero sviluppò il cosiddetto calcolo delle variazioni (connesso con il problema dei massimi e dei minimi di una funzione e con il principio di “minima azione” sviluppato da Fermat e Maupertuis, ed utilissimo in fisica in quanto indica che la natura segue sempre la strada più semplice e meno dispendiosa; il calcolo fu successivamente perfezionato dall’italiano Lagrange in accordo con lo stesso Eulero), metodi di risoluzione di equazioni differenziali (cioè contenenti quantità infinitesime) sia a derivate ordinarie che a derivate parziali, per le quali sviluppò un fondamentale “teorema di inversione”, alcuni metodi di risoluzione delle equazioni “diofantee” a soluzioni intere (già studiate nell’antichità da Diofanto). Sempre in questo campo dette un contributo decisivo nell’elaborazione della “Regola dell’Hopital” attribuita al ricco marchese dell’Hopital che in realtà finanziò lautamente il matematico svizzero per la sua “consulenza”. In campo geometrico Eulero elaborò una elegante formula che mette in relazione i numeri delle facce (C), dei vertici (V) e degli spigoli (A) di un poliedro: C – A + V = 2.

Un'altra curiosa sfida “impossibile”che rese famoso Eulero fu la risoluzione del problema di come effettuare un giro chiuso completo della città di Konigsberg passando una sola volta sui suoi 7 ponti intrecciati in maniera assai complicata. Eulero risolse il rompicapo con un metodo grafico da lui messo a punto (metodo dei grafi). Ricordiamo infine che Eulero fu anche fisico e astronomo, un vero brillante genio dell’età illuminista europea.