86.sviluppi delle geometrie non-euclidee e dell’algebra nella seconda metà dell’800: riemann, klein, beltrami. weierstrass, volterra, cremona, levi-civita. nel corso dell’800 si verificò una specie di convergenza tra la matematica, che divenne sempre più ispirata alla logica, e la logica, che assunse caratteri sempre più matematici(1)(2). al precedente numero 72 di questa rubrica abbiamo visto come gauss, lobačevskij e bolyai avessero ideato una geometria non-euclidea (detta “iperbolica”), basata su presupposti logici diversi da quelli di euclide, ovvero sul fatto che da un punto esterno ad una retta si potessero tracciare due semirette “parallele” alla prima retta formanti angoli acuti (sia pure molto vicini all’angolo retto) con la perpendicolare alla retta passante per quel punto. nel 1854 il matematico tedesco bernhard riemann (1826-1866)(3) – allievo del grande gauss (n. 72) e poi professore nella gloriosa università di gottinga - elaborò uno scritto divenuto famoso: “sulle ipotesi che stanno alla base della geometria” (pubblicato solo nel 1867). egli proponeva un tipo di geometria non euclidea, diverso da quello proposto da lobačevskij, basata sul postulato che da un punto esterno ad una retta potessero tracciarsi due semirette formanti angoli ottusi (anche se molto vicini all’angolo retto) rispetto alla perpendicolare alla retta, ipotesi già avanzata da saccheri nel ‘700 (nn: 58-72). il risultato di questa ipotesi era la creazione di una geometria (detta “ellittica”) in cui nessuna retta era parallela; tutte le rette del piano considerato si incontravano; la somma degli angoli di un triangolo era superiore a 180°. al livello di geometria spaziale multidimensionale, si arrivava ad uno spazio chiuso non infinito, ma che conservava caratteri di “illimitateza” (concetto che riemann distingueva dall’infinità) perché percorrendo una retta si tornava al punto di partenza con la possibilità di continuare a girare all’infinito, come su un cerchio massimo di una sfera. ed infatti la geometria “sferica” risultava essere solo un caso particolare di quella “ellittica”. questo tipo di geometria non è rimasto solo una curiosità logica avendo trovato una clamorosa utilizzazione nella teoria della relatività generale di einstein che prevede uno spazio modellato sostanzialmente sul modello di riemann. il grande matematico tedesco – che era stato influenzato dalla filosofia di herbart (vedi n. 71) - sosteneva che lo spazio reale fisico è n-dimensionale, cioè ha un numero di dimensioni maggiore delle tre previste da euclide. questa tesi era sostenuta anche da hermann von helmholtz (1821-1894) con lo scritto “sui fatti che stanno alla base della geometria” del 1868. lo spazio a tre dimensioni, come normalmente lo concepiamo, sarebbe solo un caso particolare. riemann ed helmholtz hanno sostenuto che lo spazio geometrico è determinato empiricamente e corrisponde ai fatti (helmholtz affermava che le figure geometriche sono “idealizzazioni” di oggetti reali operata dalla nostra mente); ma che poi possiamo fare delle ipotesi che vanno oltre l’esperienza. riemann impostò i suoi problemi geometrici sotto forma di trasformazioni continue di superfici in cui restano alcune caratteristiche “invarianti”. legò inoltre strettamente aspetti geometrici e numerici dando luogo a nuove branche della matematica, come la topologia (che è la scienza generale delle forme geometriche) e la geometria differenziale (cioè basata su differenze infinitesime di forme). si interessò anche alla teoria dei numeri, elaborando anche la celebre “ipotesi di riemann”, una “congettura” non dimostrata che riguarda le radici “non banali” della funzione “z” – legata alla distribuzione dei numeri primi - che si troverebbero tutte sulla retta verticale y = ½. il grande matematico hilbert (su cui torneremo) pose nel 1900 la congettura tra i 23 più interessanti problemi irrisolti della matematica. la congettura non è stata tuttora dimostrata. nella seconda metà del secolo le geometrie non euclidee hanno dato luogo ad una serie di “modelli” rappresentativi, di tipo ancora euclideo. il primo è dovuto all’italiano eugenio beltrami (1835-1900), docente a bologna, pisa e roma, che costruì (1866-68) un modello della geometria “iperbolica” basato su una pseudosfera ed una curvatura negativa (mentre nella geometria euclidea, detta anche “parabolica”, la curvatura è sempre nulla e nella geometria “ellittica” è sempre positiva). il grande matematico tedesco felix klein (1849-1925), docente a gottinga e monaco, fece una trattazione unificata delle geometrie euclidee e non euclidee e, basandosi sulla geometria proiettiva con l’aggiunta di una sezione conica, creò anch’egli dei modelli di geometrie non-euclidee. nello scritto del 1872 – “programma di erlangen” – espose il suo programma di studi.

sulle proprietà che rimangono invarianti rispetto ad un gruppo di trasformazioni dello spazio, scoprendo legami tra la geometria e la teoria matematica dei gruppi, di cui si è già fatto cenno al precedente n. 72. questi studi furono implementati dal matematico norvegese sophus lie (1842-1899) e dai tedeschi leopold kronecker (1823-1891), ed ernst eduard kummer(1810-1893) . anche il professore italiano luigi cremona (1830-1903) nell’opera “geometria algebrica” sottolineò i legami tra algebra e geometria. gli studi di “geometria differenziale” di riemann, oltre che da beltrami e sophus lie, furono poi continuati dall’italiano tullio levi-civita (1873-1941) con il “calcolo differenziale assoluto“, con cui si trasformano questioni geometriche in formule matematiche. dei suoi studi si servì anche einstein, come vedremo in prossimi numeri. il matematico italiano contribuì anche alla stesura dell’equazione di dirac, di cui parleremo nei prossimi numeri dedicati alla fisica quantistica. la “geometria proiettiva”, derivata dagli studi di monge (n. 66), fu sviluppata nell’opera del francese michel chasles (1795-1880), del tedesco ferdinand möbius (1790-1868), inventore del famoso nastro omonimo in cui è impossibile determinare facce “interne” ed “esterne”, da jacob steiner (1796-1863), ed infine christian von staudt (1798-1867) che la pose in forma assiomatica. anche klein aveva inventato una “bottiglia di klein” in cui interno ed esterno non potevano distinguersi come nel nastro di möbius. per quanto riguarda specificamente l’algebra, il massimo studioso di questo settore più tradizionale nella seconda metà del secolo fu il tedesco karl weierstrass (1815-1897). a tutto il calcolo algebrico diede una veste più logia e razionale, lasciando una vasta eredità intellettuale (furono suoi allievi, klein, sophus lie, oltre a cantor e minkowski di cui diremo in prossimi numeri). egli sviluppò gli studi di cauchy sulle funzioni a variabili complesse (n. 72) - studiate anche da riemann – servendosi degli studi di lagrange (n. 66) sulle serie di potenze. weierstrass studiò anche le funzioni a variabili reali servendosi delle serie trigonometriche di fourier (n. 67), dimostrando l’esistenza di funzioni continue prive di derivata, cioè non rappresentabili con una curva. studiò anche le cosiddette funzioni “ellittiche”, doppiamente periodiche (tipiche di oscillazioni molto ampie), già note ad abel (n. 72), poi studiate anche dal già citato tedesco kronecker e dal francese charles hermite (1822-1901). il grande matematico henri poincarè (1854-1912) – di cui scriveremo anche in un prossimo numero – effettuò un ulteriore sviluppo creando le funzioni “automorfe”. altro importante matematico dell’epoca fu il tedesco richard dedekind (1831-1916), professore a gottinga, e sulla cui opera torneremo in un prossimo numero. anche le equazioni “integrali”, cioè contenenti incognite sotto il segno di “integrale”, già note ad abel (n. 72), furono studiate dal francese joseph liouville (1809-1882) e poi dal grande matematico tedesco david hilbert (1862-1943), di cui scriveremo in prossimi numeri, e dall’italiano vito volterra (1860-1939) che negli anni intorno al 1885-87 ne fece un ulteriore sviluppo con il “calcolo funzionale” che ha avuto molte applicazioni e che include il precedente “calcolo delle variazioni” di eulero e lagrange, cui si è fatto cenno nei precedenti nn. 58 e 66. ricordiamo anche che il citato francese liouville individuò anche i numeri “trascendenti”, cioè quei particolari numeri irrazionali non ricavabili da una speciale equazione algebrica a coefficienti interi. l’altro francese hermite dimostrò nel 1873 che il numero “e” (base dei logaritmi “naturali”) era uno di questi numeri. il tedesco ferdinand lindemann (1852-1919) dimostrò che anche il famoso “pi greco” era trascendente. più recentemente altri matematici come hilbert e gli italiani pieri e peano riesaminarono tutti i fondamenti logici delle geometrie non euclidee. ne parleremo nei prossimi numeri, in cui parleremo anche dell’importante figura del matematico francese poincarè. l. geymonat, “storia del pensiero fil. e sc.”, opera citata in bibl. n. abbagnano, “storia della fil.”, op. cit. in bibl. rba, “le grandi idee della sc. – riemann”, op.cit.in bibl.

Nel corso dell’800 si verificò una specie di convergenza tra la matematica, che divenne sempre più ispirata alla logica, e la logica, che assunse caratteri sempre più matematici⁽¹⁾⁽²⁾. Al precedente numero 72 di questa rubrica abbiamo visto come Gauss, Lobačevskij e Bolyai avessero ideato una geometria non-euclidea (detta “iperbolica”), basata su presupposti logici diversi da quelli di Euclide, ovvero sul fatto che da un punto esterno ad una retta si potessero tracciare due semirette “parallele” alla prima retta formanti angoli acuti (sia pure molto vicini all’angolo retto) con la perpendicolare alla retta passante per quel punto.

Nel 1854 il matematico tedesco Bernhard Riemann (1826-1866)⁽³⁾ – allievo del grande Gauss (N. 72) e poi professore nella gloriosa Università di Gottinga - elaborò uno scritto divenuto famoso: “Sulle ipotesi che stanno alla base della Geometria” (pubblicato solo nel 1867). Egli proponeva un tipo di geometria non euclidea, diverso da quello proposto da Lobačevskij, basata sul postulato che da un punto esterno ad una retta potessero tracciarsi due semirette formanti angoli ottusi (anche se molto vicini all’angolo retto) rispetto alla perpendicolare alla retta, ipotesi già avanzata da Saccheri nel ‘700 (NN: 58-72). Il risultato di questa ipotesi era la creazione di una geometria (detta “ellittica”) in cui nessuna retta era parallela; tutte le rette del piano considerato si incontravano; la somma degli angoli di un triangolo era superiore a 180°. Al livello di geometria spaziale multidimensionale, si arrivava ad uno spazio chiuso non infinito, ma che conservava caratteri di “illimitateza” (concetto che Riemann distingueva dall’infinità) perché percorrendo una retta si tornava al punto di partenza con la possibilità di continuare a girare all’infinito, come su un cerchio massimo di una sfera. Ed infatti la geometria “sferica” risultava essere solo un caso particolare di quella “ellittica”. Questo tipo di geometria non è rimasto solo una curiosità logica avendo trovato una clamorosa utilizzazione nella teoria della Relatività Generale di Einstein che prevede uno spazio modellato sostanzialmente sul modello di Riemann.

Il grande matematico tedesco – che era stato influenzato dalla filosofia di Herbart (vedi N. 71) - sosteneva che lo spazio reale fisico è n-dimensionale, cioè ha un numero di dimensioni maggiore delle tre previste da Euclide. Questa tesi era sostenuta anche da Hermann von Helmholtz (1821-1894) con lo scritto “Sui fatti che stanno alla base della Geometria” del 1868. Lo spazio a tre dimensioni, come normalmente lo concepiamo, sarebbe solo un caso particolare. Riemann ed Helmholtz hanno sostenuto che lo spazio geometrico è determinato empiricamente e corrisponde ai fatti (Helmholtz affermava che le figure geometriche sono “idealizzazioni” di oggetti reali operata dalla nostra mente); ma che poi possiamo fare delle ipotesi che vanno oltre l’esperienza.

Riemann impostò i suoi problemi geometrici sotto forma di trasformazioni continue di superfici in cui restano alcune caratteristiche “invarianti”. Legò inoltre strettamente aspetti geometrici e numerici dando luogo a nuove branche della matematica, come la Topologia (che è la scienza generale delle forme geometriche) e la Geometria Differenziale (cioè basata su differenze infinitesime di forme). Si interessò anche alla teoria dei numeri, elaborando anche la celebre “ipotesi di Riemann”, una “congettura” non dimostrata che riguarda le radici “non banali” della funzione “Z” – legata alla distribuzione dei numeri primi - che si troverebbero tutte sulla retta verticale y = ½. Il grande matematico Hilbert (su cui torneremo) pose nel 1900 la congettura tra i 23 più interessanti problemi irrisolti della matematica. La congettura non è stata tuttora dimostrata.

Nella seconda metà del secolo le geometrie non euclidee hanno dato luogo ad una serie di “modelli” rappresentativi, di tipo ancora euclideo. Il primo è dovuto all’italiano Eugenio Beltrami (1835-1900), docente a Bologna, Pisa e Roma, che costruì (1866-68) un modello della geometria “iperbolica” basato su una pseudosfera ed una curvatura negativa (mentre nella geometria euclidea, detta anche “parabolica”, la curvatura è sempre nulla e nella geometria “ellittica” è sempre positiva). Il grande matematico tedesco Felix Klein (1849-1925), docente a Gottinga e Monaco, fece una trattazione unificata delle geometrie euclidee e non euclidee e, basandosi sulla geometria proiettiva con l’aggiunta di una sezione conica, creò anch’egli dei modelli di geometrie non-euclidee. Nello scritto del 1872 – “Programma di Erlangen” – espose il suo programma di studi

sulle proprietà che rimangono invarianti rispetto ad un gruppo di trasformazioni dello spazio, scoprendo legami tra la geometria e la teoria matematica dei gruppi, di cui si è già fatto cenno al precedente N. 72. Questi studi furono implementati dal matematico norvegese Sophus Lie (1842-1899) e dai tedeschi Leopold Kronecker (1823-1891), ed Ernst Eduard Kummer(1810-1893) . Anche il professore italiano Luigi Cremona (1830-1903) nell’opera “Geometria Algebrica” sottolineò i legami tra algebra e geometria. Gli studi di “Geometria Differenziale” di Riemann, oltre che da Beltrami e Sophus Lie, furono poi continuati dall’italiano Tullio Levi-Civita (1873-1941) con il “calcolo differenziale assoluto“, con cui si trasformano questioni geometriche in formule matematiche. Dei suoi studi si servì anche Einstein, come vedremo in prossimi numeri. Il matematico italiano contribuì anche alla stesura dell’equazione di Dirac, di cui parleremo nei prossimi numeri dedicati alla fisica quantistica.

La “Geometria Proiettiva”, derivata dagli studi di Monge (N. 66), fu sviluppata nell’opera del francese Michel Chasles (1795-1880), del tedesco Ferdinand Möbius (1790-1868), inventore del famoso nastro omonimo in cui è impossibile determinare facce “interne” ed “esterne”, da Jacob Steiner (1796-1863), ed infine Christian von Staudt (1798-1867) che la pose in forma assiomatica. Anche Klein aveva inventato una “bottiglia di Klein” in cui interno ed esterno non potevano distinguersi come nel nastro di Möbius.

Per quanto riguarda specificamente l’algebra, il massimo studioso di questo settore più tradizionale nella seconda metà del secolo fu il tedesco Karl Weierstrass (1815-1897). A tutto il calcolo algebrico diede una veste più logia e razionale, lasciando una vasta eredità intellettuale (furono suoi allievi, Klein, Sophus Lie, oltre a Cantor e Minkowski di cui diremo in prossimi numeri). Egli sviluppò gli studi di Cauchy sulle funzioni a variabili complesse (N. 72) - studiate anche da Riemann – servendosi degli studi di Lagrange (N. 66) sulle serie di potenze. Weierstrass studiò anche le funzioni a variabili reali servendosi delle serie trigonometriche di Fourier (N. 67), dimostrando l’esistenza di funzioni continue prive di derivata, cioè non rappresentabili con una curva. Studiò anche le cosiddette funzioni “ellittiche”, doppiamente periodiche (tipiche di oscillazioni molto ampie), già note ad Abel (N. 72), poi studiate anche dal già citato tedesco Kronecker e dal francese Charles Hermite (1822-1901). Il grande matematico Henri Poincarè (1854-1912) – di cui scriveremo anche in un prossimo numero – effettuò un ulteriore sviluppo creando le funzioni “automorfe”. Altro importante matematico dell’epoca fu il tedesco Richard Dedekind (1831-1916), professore a Gottinga, e sulla cui opera torneremo in un prossimo numero.

Anche le equazioni “integrali”, cioè contenenti incognite sotto il segno di “integrale”, già note ad Abel (N. 72), furono studiate dal francese Joseph Liouville (1809-1882) e poi dal grande matematico tedesco David Hilbert (1862-1943), di cui scriveremo in prossimi numeri, e dall’italiano Vito Volterra (1860-1939) che negli anni intorno al 1885-87 ne fece un ulteriore sviluppo con il “calcolo funzionale” che ha avuto molte applicazioni e che include il precedente “calcolo delle variazioni” di Eulero e Lagrange, cui si è fatto cenno nei precedenti NN. 58 e 66. Ricordiamo anche che il citato francese Liouville individuò anche i numeri “trascendenti”, cioè quei particolari numeri irrazionali non ricavabili da una speciale equazione algebrica a coefficienti interi. L’altro francese Hermite dimostrò nel 1873 che il numero “e” (base dei logaritmi “naturali”) era uno di questi numeri. Il tedesco Ferdinand Lindemann (1852-1919) dimostrò che anche il famoso “pi greco” era trascendente. Più recentemente altri matematici come Hilbert e gli italiani Pieri e Peano riesaminarono tutti i fondamenti logici delle geometrie non euclidee. Ne parleremo nei prossimi numeri, in cui parleremo anche dell’importante figura del matematico francese Poincarè.

1. L. Geymonat, “Storia del Pensiero Fil. e Sc.”, opera citata in bibl.

2. N. Abbagnano, “Storia della Fil.”, op. cit. in bibl.

3. RBA, “Le Grandi Idee della Sc. – Riemann”, op.cit.in bibl.